Tri matematické hádanky z včasného stredoveku

Publikované : 19.10.2016 | Komentárov: 0 | Zobrazení: 8224

Možno neviete, ale mnohé hádanky, ktorými sa bavíme aj dnes, majú pôvod v stredoveku. Dokážete ich vyriešiť?

 

Vlka, koza a kapusta

Mnohí z vás určite poznajú logickú hádanku, v ktorej sa prievozník snaží cez rieku v jednomiestnej loďke previezť vlka, kozu a kapustu. Pokiaľ by ponechal bez dozoru na jednom brehu kozu a vlka, vlk kozu zožerie, pokiaľ by ponechal kozu samotnú s kapustou, z kapusty nezostane ani lístok. Úlohou pre prievozníka je previezť na druhý breh rieky vlka, kozu aj kapustu tak, aby vlk, koza aj kapusta zostali v celku. Ak tomuto príkladu odpustíme nepravdepodobnosť, že by niekto potreboval prevážať živého vlka, ide o ukážkový matematický príklad z teórie grafov. Milovníci matematických hádaniek sa s ním v rôznych podobách stretávajú už dvanásť storočí. Po prvý raz sa totiž tento príklad objavil už v texte s názvom Propositiones ad acuendos iuvenos (Úlohy na ostrenie mladých myslí), ktorú možno datovať do 9. storočia.

Hádanka o vlkovi, koze a kapuste nie je jedinou známou matematickou úlohou, ktorá má svoj pôvod, resp. ktorej  najstaršia písomná podoba je zaznamenaná v tejto stredovekej latinskej zbierke. Jej vznik a autor sú pritom dodnes neznámi. Jediné, čo o nej môžeme povedať, je, že vznikla v čase veľkého vedeckého a kultúrneho rozmachu v Európe – v  9. storočí v období známom ako karolínska renesancia (u nás sa vtedy rozvíjala Veľkomoravská ríša).

Za autora zbierky bol dlho považovaný anglický vzdelanec a pedagóg Alkuin z Yorku. Jeho povesť učenca a schopného organizátora natoľko oslnili franského kráľa (a od roku 800 cisára) Karola Veľkého, že v 80. rokoch 8. storočia ponúkol Alkuinovi miesto na svojom dvore. Alkuin kráľovu ponuku neochotne prijal. Urobil dobre. Až do svojej smrti v roku 804 bol Karolovým blízkym poradcom, vedúcim dvorskej školy a neoficiálnym ministrom školstva vo Franskej ríši. Išlo o jednu z najproduktívnejších spoluprác medzi panovníkom a radcom-intelektuálom v histórii Európy.

 

Úlohy zo stredoveku

Keď Karol Veľký v roku 789 vydal nariadenie, aby boli v každej farnosti zriadené školy a aby sa v nich vyučovalo podľa jednotných osnov, išlo s najväčšou pravdepodobnosťou o Alkuinov nápad. Alkuin sám pripravil niekoľko textov, ktoré mali slúžiť ako vzorové učebnice pre nové školy a týkali sa všetkých siedmich slobodných umení – gramatiky, rétoriky, dialektiky, aritmetiky, geometrie, hudby a astronómie. Nie všetky z jeho učebníc sa zachovali, aspoň nie pod jeho menom. Keďže Alkuinova učebnica matematiky nebola objavená, dlho sa predpokladalo, že ňou musia byť práve anonymné Propositiones ad acuendos iuvenos, alebo že táto zbierka aspoň vychádza z Alkuinovych prác.

Rukopisy Úloh z včasného stredoveku obsahujú 53 až 56 príkladov rôzneho typu. My vám tu ponúkame tri z nich. Trúfnete si popasovať sa s úlohami, ktoré v stredoveku museli vedieť vyriešiť „stredoškoláci“?

 

Mgr. Evina Steinová, PhD., vyštudovala latinský jazyk na Masarykovej univerzite v Brne a medievistiku na Utrecht University v Holandsku. Na Kráľovskej holandskej akadémie vied (Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen) dokončila doktorát o vedeckých komunitách v ranom stredoveku. Okrem HistoryWeb-u prispieva do viacerých blogov venujúcich sa histórii.

 

Tri stredoveké úlohy

Úloha s fľašami a olejom 

Na smrteľnej posteli poručil otec ako dedičstvo svojim trom synom tridsať sklených fliaš. Desať z nich bolo plných oleja, desať ďalších bolo naplnených len do polovice,  desať bolo prázdnych. Kto vie, nech rozdelí olej aj fľaše tak, aby každý zo synov dostal rovnaký podiel skla aj oleja.

 

Úloha o narodení dvojčiat 

Muž zomrel a zanechal po sebe tehotnú manželku a 960 zlatých zo svojho majetku. Na smrteľnej posteli nariadil toto: ak sa narodí syn, dostane tri štvrtiny sumy a jeho matka zvyšnú štvrtinu; ak sa však narodí dcéra, získa sedem dvanástin majetku a jej matka päť dvanástin. Čo sa však nestalo? Matka porodila dvojčatá, chlapca a dievča. Kto vie, nech vyrieši, koľko zlatých dostala matka, syn a dcéra.

 

Úloha o rodine, ktorá sa chcela dostať na druhú stranu rieky 

Muž, žena a ich dve deti sa potrebovali dostať na druhú stranu rieky. Muž aj žena vážia toľko ako plný voz. Každé z detí váži toľko ako polovica naloženého voza. Na brehu našli loďku, ktorá neunesie viac než váhu jedného voza. Ako sa majú dostať na druhú stranu rieky, ak sa loďka nemá potopiť?

 

Riešenia týchto troch úloh pozrite nižšie.

 

A ak vás zaujíma, ako možno vyriešiť hádanku o vlkovi, koze a kapuste, pozrite si toto video:

                                             

Odpovede na tri matematické hádanky z včasného stredoveku

 Ako sme prisľúbili, tu sú odpovede na tri stredoveké matematické hádanky, ktoré sme uverejnili pred dvoma dňami. Uvádzame vždy najprv stredovekú odpoveď, ako sa nachádza v najstarších rukopisoch, a potom moderný dodatok.

 

Riešenie hádanky o fľašiach a oleji

Stredoveké riešenie

Máme teda troch synov a tridsať fliaš, desať z nich plných, desať naplnených spolovice a desať prázdnych. Trikrát desať je tridsať, a teda každý syn dostal desať fliaš. Rozdeľ teda plný počet na tretiny, to jest, prvému synovi daj desať poloprázdnych fliaš, a potom druhému synovi päť plných a päť prázdnych. Podobne daj tretiemu synovi to isté [t.j. päť plných a päť prázdnych fliaš – pozn. autorky], a všetci traja synovia dostanú rovnaký podiel – tak v oleji, ako v skle.

Moderný dodatok

Riešenie tejto hádanky sa môže javiť v prvom rade ako logický chyták, pretože je potrebné si uvedomiť, že jedna prázdna a jedna plná fľaša obsahujú toľko oleja a skla ako dve spolovice naplnené fľaše. Dokázali by ste však odvodiť, ako by bolo potrebné rozdeľovať fľaše pri ľubovoľnom počte plných, poloprázdnych a prázdnych fliaš za podmienok, že by ich bol rovnaký počet (n) a bolo by ich potrebné rozdeliť medzi troch synov? Ak by ste si zároveň predstavili, že každá fľaša má zátku inej farby, a že týmto spôsobom možno vytvárať rôzne kombinácie prázdnych a plných fliaš, ktoré môžu synovia zdediť, zistíte, že počet takýchto kombinácií narastá podľa zrejmých pravidiel. Ak sa nad touto úlohou zamyslíte, zistíte, že v skutočnosti ide o veľmi zaujímavý prípad z teórie čísel, o tzv. Alkuinovu postupnosť. Táto postupnosť dostala názov práve podľa stredovekého učenca, ktorý je považovaný za autora tejto hádanky, ako sme sa zmienili v predošlom článku. Úloha o fľašiach a oleji je najstarším dokladom toho, že sa ľudia touto postupnosťou zaoberali, hoci pravdepodobne len jej zjednodušenou formou.

 

Riešenie hádanky o narodení dvojčiat

Stredoveké riešenie

Ak sčítaš 9 a 3, získaš 12, lebo dvanásť uncí dokopy dáva libru. Potom sčítaj podobne 7 a 5, a znova získaš 12. Dvakrát 12 je 24, 24 je váha dvoch libier, to jest 40 solidov. Teraz rozdeľ 960 solidov na dvadsaťštyri častí a zistíš, že jedna dvadsaťštvrtina je 40. Pretože syn dostal tri štvrtiny, čiže deväť dvanástin, vynásob 40 deviatimi, dostaneš 18 libier, čo je 360 solidov. Keďže matka dostane 3 časti (z dvanástich, t. j. 3/12) voči synovi a päť častí (z dvanástich, t. j. 5/12) voči dcére, 3 a 5 je 8. Preto vynásob 40 ôsmimi, dostaneš 16 libier, čo dáva 320 solidov. Nakoniec vezmi sedemkrát 40, to je 14 libier, ktoré dávajú 280 solidov. Tieto dostane dcéra. Ak spočítaš 360, 320 a 280, dostaneš 960 solidov, čo je 48 libier.

Moderný dodatok

Ak sa vám stredoveké riešenie zdá zmätené a rozmýšľate, prečo sú do neho zakomponované unce a libry, musíte si uvedomiť, že stredovekí žiaci si hneď uvedomili súvis medzi rôznymi váhami, ktoré umožňujú tento príklad vypočítať jednoduchšie, hoci nám tieto súvislosti dnes nič nehovoria (kto z vás napokon tušil, že solidus zodpovedá 20 librám alebo 240 unciam?). V každom prípade je pomer, ktorý udáva stredoveké riešenie, správny. Dedičstvo je potrebné rozdeliť v pomere 7:8:9, teda na dvadsaťštvrtiny, z ktorých dostane dcéra sedem, matka osem a syn deväť. Jedna dvadsaťštvrtina z 960 je 40,  teda dcéra dostane 280, matka 320, a syn 360 solidov.

 

Riešenie hádanky o rodine, ktorá sa chcela dostať na druhú stranu rieky

Stredoveká odpoveď

Najprv na loďku nastúpia dvaja synovia a prevezú sa na druhú stranu. Jeden z nich sa vráti naspäť aj s loďkou. Do loďky nastúpi matka a preplaví sa na druhú stranu. Jej syn sa opäť vráti aj s loďkou. Spolu s bratom sa potom znova preplavia na druhú stranu. Jeden z nich sa vráti za otcom na opačný breh. Syn na tomto brehu zostane, zatiaľ čo otec sa preplaví na druhú stranu. Zvyšný syn sa vráti s loďkou nazad. Obaja synovia sa nalodia a dostanú sa na druhý breh.

Moderný dodatok

Úlohu možno v skutočnosti vyriešiť viacerými spôsobmi, napríklad ak sa na druhý breh najprv dostane otec, a nie matka. Dôležité je uvedomiť si, že úloha sa dá vyriešiť iba v prípade, že sa protagonisti s loďkou budú vracať z jedného brehu na druhý. Ide o príklad zo série tzv. úloh o prekročení rieky, ku ktorým patrí aj úloha o vlkovi, koze a kapuste. Tretí príklad z tejto série, s ktorým sa po prvý raz stretneme v tej iste zbierke ako s úlohou o rodine a s úlohou o vlkovi, koze a kapuste, je úloha o troch žiadostivých mužoch. Každý z nich chce na druhý breh rieky previezť seba i svoju panenskú sestru. Zároveň chce každý muž uchrániť svoju sestru od zneuctenia cudzím mužom, preto ju musí mať stále pod dohľadom. Loďka, na ktorej sa snažia tieto tri páry dostať na druhú stranu rieky, však unesie najviac dvoch ľudí. Trúfnete si vyriešiť aj túto úlohu?

 

Obrazová príloha: www.wikipedia.org

Poslať e-mailom

 

Súvisiace články

Bitka pri Rozhanovciach

Bitka pri Rozhanovciach

Dnes, 15. júna, ubehlo 705 rokov od vojenského víťazstva uhorského kráľa Karola I. nad odbojným šľachtickým rodom Omodejovcov, podporovaným Matúšom Čákom, pri dedine Rozhanovce ležiacej neďaleko Košíc. celý článok

Diskusia (0)

pridať

Zatiaľ žiadne komentáre.

Pridať komentár

Pre pridanie komentáru musíte byť prihlásený. Prihláste sa alebo registrujte sa.